З точки зору механіки можна представити зуб як
тверде тіло, зафіксоване в періодонтальному просторі,
який має шість ступенів свободи: три поступальні і три
обертальні відносно трьох ортогональних осей. Рухли-
вість зуба як твердого тіла визначається можливими
сумарними переміщеннями відносно цих осей. Крім того,
як пружне тіло зуб має нескінченну кількість ступенів
свободи. Найбільш вірогідними при цьому є деформації
розтягування або стискування вздовж подовжньої осі
зуба, кручення навколо подовжньої осі, а також вигин у
вестибуло-оральному або медіо-дистальному напрямках.
Знаючи умови закріплення пружного тіла та деформуючі
навантаження в різних напрямках, можемо визначити
пружні переміщення всіх точок перерізу зуба. Саме всі ці
переміщення зуба в якості як твердого, так і пружного
тіла визначають його сумарні переміщення, які у стома-
тології прийнято називати рухливістю зуба.
Аналіз НДС зубощелепного сегменту (ЗЩС) при
патології пародонту дозволяє виконати розроблена нами
плоска кінцево-елементна модель нижньої щелепи в
ділянці ікла. Профіль зуба виконаний за Harty [11], а кон-
тури сегмента взяті за В.Н. Копейкіним [4]. Модель
містить основні структурні складові ЗЩС: зуб, що вклю-
чає коронку (емаль), дентин, шийку зуба й корінь
(цемент), періодонтальну щілину, внутрішню й зовнішню
кортикальні пластинки зубної альвеоли та губчасту речо-
вину щелепної кістки. Усі перераховані структурні складо-
ві зображені у збільшеному масштабі різними кольорами.
Основні механічні характеристики, відповідно до
даних роботи [10], присвоєні основним структурним
складовим моделі, наводяться в табл. 1.
У табл. 1 позначено:
Е
– модуль пружності кісткової
тканини;
μ
– коефіцієнт Пуассона;
σ
в. р
і
σ
в. с
– межі міц-
ності при розтягуванні та стискуванні відповідно. Межі
міцності наводяться в таблиці в якості довідкового мате-
ріалу для забезпечення можливості порівняння отриму-
ваної діючої напруги з максимально допустимими (що
руйнують).
Наведені в табл. 1 механічні характеристики тканин
пародонту відображують тільки пружні (лінійні) власти-
вості кісткових і м’яких тканин. У той же час абсолютно
очевидно [7, 10], що кісткові й тим більше м’які тканини
мають істотну пластичність, тобто нелінійність. Сучасні
програми, що реалізують метод кінцевого елемента
(МКЕ), дають можливість облікувати будь-який тип
нелінійності. Тому питання про побудову відповідної
моделі повинно розглядатися з урахуванням достовірних
початкових даних про пружність періодонту. При аналізі
лінійної моделі, яка є більш жорсткою системою, ніж
реальна біосистема, необхідно враховувати, що отримані
з її допомогою переміщення зуба будуть менше, а напру-
га – більше на величину відмінності введених додаткових
механічних характеристик, ніж реальні.
Оскільки плоска модель у порівнянні з об’ємною
(тривимірною) принципово не може бути більш точною,
при опрацюванні моделі особлива увага приділялась адек-
ватності моделі, що розроблялася, з реальною будовою
щелепи не тільки якісно, а й кількісно, із забезпеченням
порівняння отриманих числових результатів з відомими
в літературі. Для забезпечення істинної взаємодії між
коренем зуба та шарами періодонту, що його оточують,
ширину кореня визначали за рівністю об’ємів кореня
реального зуба й зуба змодельованого, що виразилось у
відповідному зменшенні площі перерізу кореня зуба у
пришийковій частині. За цим же принципом визначали
ширину коронки, а ширину альвеолярної кістки зубоще-
лепного сегмента приймали рівною відстані між контакт-
ними пунктами зуба.
Ширина періодонтальної щілини виконана змінною
(відповідно до даних [1, 3]): у пришийковій ділянці –
0,25 мм, у першій третині довжини кореня 0,15 мм, в апі-
кальній частині – максимальна ширина 0,28 мм. Таким
чином, забезпечується розширення щілини у пришийко-
вій і біля верхівкової частини в порівнянні із середньою
частиною. Природно, ширину періодонтальної щілини
можна змінити залежно від цих даних у різних авторів або
від клінічного стану конкретного зуба. Зокрема, залежно
від резорбтивних процесів у кістковій тканині альвеоли.
Складність структури та функції періодонту, що
поглинає механічну енергію й перерозподіляє її на кістко-
ву тканину альвеоли, на наш погляд, досі не отримала
адекватного віддзеркалення в науковій літературі. При
відпрацюванні властивостей цієї найважливішої складовї
ЗЩС ми використовували просту модель періодонту із
пружними властивостями за U. Mandel і співавт. [12].
Описана базова модель модернізувалась, тобто її гео-
метрія перебудовувалася залежно від виду й міри верти-
кальної та горизонтальної резорбції альвеолярної кістки.
Навантаження прийнято за Rus рівним 150 Н, тобто
за верхнею межею сили твердої їжі, що виникає під час
пережовування в ділянці ікла. Сила, відповідно до схеми
(рис. 83 роботи [4]), прикладається в точці трохи нижче
різальної кромки зуба під кутом 45
°
по відношенню до
вертикалі.
Програма, за допомогою якої побудована й аналізу-
ється модель, записує у протокол рішення задачі перемі-
щення кожного вузла по трьох координатних осях,
напругу нормальну й дотичну по осях, головну напругу й
напругу за Мізесом (еквівалентна напруга за четвертою
теорією міцності за термінологією, прийнятою в україно-
мовній літературі) у кожній вузловій точці й у середині
кожного елемента. Напруга за Мізесом розраховується за
звичайною формулою:
(1)
Нижче наводиться аналіз розробленої плоскої моде-
лі, тому ця формула значно спроститься, оскільки всі
компоненти напруженого стану, що містять індекс
z
,
дорівнюватимуть нулю.
37
ПАРОДОНТОЛОГИЯ
СОВРЕМЕННАЯ СТОМАТОЛОГИЯ 3/2016
Таблиця 1
Елемент
моделі
E
,
МПа
μ
Кількість
елементів
Колір
на рис. 3
σ
в. р
,
МПа
σ
в. с
,
МПа
Емаль
4
×
10
4
0,3
369
Блакитний
1,1–34
130–380
Дентин
1,56
×
10
3
0,3
709
Зелений
2–104
230–310
Компактна кістка
1,37
×
10
4
0,3
722
Червоний
40–50
50–400
Губчаста кістка
6,89
×
10
3
0,3
897
Фіолетовий
10–20
26–160
Періодонт
50,0
0,45
76
Синій
3,8
